量子相对信息熵及其半正定优化

0 引言

量子力学与信息理论是上个世纪最重要的科学发现之一。虽然这两个领域最初是分开研究的,但它们实际上是密切相关的^[1]。在本文中,将传统的信息理论扩展到量子信息理论领域,并探索量子纠缠、退相干等效应所施加的限制^[2],这不同于经典力学对信息存储和传输的限制^[3],因为从相对熵的一个关键属性逻辑上来看^[4],本文研究中的许多关键结果的推导,与“通常”表述方法需要进行区分。量子通信可以通过使用相对信息熵理论,计算量子退相干多用户信道的容量,并可以通过凸优化计算最大信道容量的范围^[5]。另外,本文还讨论了量子信息熵理论的热力学^[6]和量子测量的物理意义。

针对电力通信信道实时连续的情况,本文给出了基于Lebesgue积分的绝对连续的量子相对熵概率测度,并用其密度来标识。对于概率测度,可以引入相对熵和Fisher信息的定义与相互关系。在信息理论、概率和统计学中这些结论都能起到重要作用^[7]。

本文在涉及相对熵函数的量子信息理论中研究各种凸优化问题^[8-9],通过使用半正定规划算法求出问题的近似解^[10-11]。特别地,使用这种方法来获得关于量子条件互信息与相对熵拟下限的数值^[12-13]。

 1 量子相对熵

此处简要介绍量子相对熵的定义及其主要性质,文献[14]给出了下述定理和性质的证明,本文不再给出详细证明。

1.1 冯诺依曼熵

定义1.1 冯诺依曼熵ρ∈Q(H )定义如下：

 （2）

式中,p为概率函数。若ρ的谱可以基于正交基{|φ_a〉}_a∈A分解为ρ=∑ρ(a)|φ_a〉 〈φ_a|,则冯诺依曼熵退化为香农熵p。

冯诺依曼熵有2个性质,其证明见文献[14]。

定理1.1 令ρ为互正交的密度算子,则冯诺依曼
熵  ,满足：

 。

定理1.2 记混合状态向量为

|ψ〉∈H_A  （4）

1.2 量子相对熵及其正定性

定义1.2 令ρ,σ∈Q(H),ρ到σ的量子相对信息熵定义为：

 H_B上给定ρ^AB,有：

 （7）

上式称为Klein不等式,等号成立的条件为当且仅当ρ=σ。

定理1.4 冯诺依曼熵的次可加性。令ρ∈Q(H_A  （8）

其中等号成立的条件为当且仅当ρ^AB=ρ^A  （9）

上式称为Uhlmann不等式。

推论1.1 令ρ^AB,σ^AB∈Q(H_A  （10）

推论1.2 令ε:L(H)→L(H′)在完全正定和酉保迹映射下满足ε(I)=I,ε:L(H)→L(H′),其中I为H上的单位元,则冯诺依曼熵不递减：

 H_B  （12）

 2 相对信息熵的积分表示

例如在电力系统中的信息是实时、连续的,用积分对相对信息熵进行定义,采用Lebesgue测度来定义绝对连续的实数域Rⁿ的熵,用f(x)表其概率密度,并引入熵S(f)和Fisher信息J(f)。

定义2.1 f为Rⁿ上的概率测度,微分熵定义为^[15]：

 （14）

当Rⁿ上的随机变量X有可微密度f,同样可记为J(X)=J(f)。

定义2.2 f对于g的相对熵D(f||g)定义为：

 （16）

该值也是非负数值,当随机变量X和Y分别具有密度f和g时,X相对于Y的相对熵和相对Fisher信息分别定义为D(X||Y)=D(f||g)和J(X||Y)=J(f||g)。

引理2.1 令f<<g是具有有限Fisher信息J(f)<∞和J(g)<∞在Rⁿ上的概率测度,以及有限相对熵D(f||g)<∞,然后得到：

 （18）

证明：对上述引理和定理简要证明如下。首先当t>0时,Fisher信息J(f_t)和J(g_t)有限,且随机变量X和Z的均值为0,方差为I_n。对于  （19）

其中J(Z)=n,且方程D(f_t||g_t)是非递增的,则：

 （21）

将上式带入式则得到引理结论。因为当t→∞

时, 

带入即可得到定理的结论。

 3 量子相对熵的半正定优化

3.1 纠缠辅助信道容量

在前面两节对离散和连续情况下量子相对熵的定义和计算方法,可以进一步定义量子信道容量,并采用凸优化算法得到最大容量。考虑量子信道,具有输入A和输出B, C_ea表示为纠缠辅助经典信道的能力。如果允许发射机和接收机共享任意纠缠状态,可以通过信道可靠地传输的经典比特量。记密度集合A算子D(A),量子通道的纠缠辅助经典能力具有简单的最大化表达式：

 E,即对于任意算子X,信道可表示为ψ(X)=tr[UXU^*],信道互信息量可定义为：

 （24）

由于H(B|E)和H(B)在σ=UρU*上是凹的,因此在ρ上S(ρ||ψ)是凹的。

图1 纠缠辅助经典振幅阻尼信道容量Fig.1 The entanglement assisted classical amplitude damping channel capacity

考虑振幅阻尼信道,信干比记为γ,计算纠缠辅助状态下振幅阻尼信道的容量,纠缠辅助经典振幅阻尼信道容量如图1所示。

3.2 量子退相干信道容量

量子信道的（无辅助）量子容量Q(ψ)是能够可靠地在信道ψ传输的量子比特数量（量子位）,可表示为：

 （26）

上述定义中,ψ^c表示信道ψ的互补信道。若ψ为环境E下由A到B的信道,其对等映射表示为ψ^c:L(A)→L(B)、U:A→B  （27）

在退相干信道下,如果存在信道ε:L(B)→L(E′)且E′E,则有ψ^c=ε°ψ。若信道退相干,可以忽略式的极限条件,在ρ中S_C是凹的。这种情况下,假设ψ^c=ε°ψ且令W:B→E′  （28）

图2 振幅阻尼受限量子信道容量Fig.2 Amplitude damping confined quantum channel capacity

由于条件熵是凹的,  是凹的。图2为采用半正定规划算法计算的不同信干比条件下,量子退相干信道的容量。

3.3 纠缠态相对熵

状态x和x可分离的凸集定义为：

 B)中的两分状态ρ,纠缠态下相对熵从ρ到S的距离定义为：

 （30）

同样可以定义半正定规划的k次分割距离R^(k)(ρ)。

3.4 可恢复的相对熵和条件相互信息

考虑一个三方状态ρ^ABC在希尔伯特空间A  C上的定义,给定B的A和C的条件相互信息定义为：

 （32）

这里ψ是量子信道,对应作用于B上的三元组。

Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy " style="box-sizing: border-box; color: rgb(43, 43, 43); text-decoration-line: none;">图3 互信息熵与相对熵的比较Fig.3 Comparison of the mutual entropy and the relative entropy

 4 结语

本文论述了量子相对信息熵的定义,及其在实时连续系统中与Fisher信息量的关系,最后通过半正定规划法计算了量子纠缠辅助信道、量子退相干信道的容量,以及互信息熵与相对熵不等式的数值验证,以上结论可以用于实时或离散量子通信系统的容量计算。